Question

在直角坐标系xOy中，已知P（x₀，y₀）是圆C：x²+（y-4）²=1外一点，过点P作圆C的切线，切点分别为A，B，记四边形PACB的面积为f（P），当P（x₀，y₀）在圆D：（x+4）²+（y-1）²=9上运动时，f（P）的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：圆的切线方程

专题：计算题,直线与圆

分析：根据题意画出相应的图形，连接CD并延长，与圆D分别交于M、N，由圆C与圆D的方程得出圆心C、D的坐标，即各自的半径r与R，利用两点间的距离公式求出圆心距|CD|的长，当P在N处时，四边形ACBP面积最小；当P在M处时，四边形ACBP面积最大，分别求出即可得到f（P）的范围．

解答： 解：由题意得到圆心C（0，4），半径r=1；圆心D（-4，1），半径R=3，
∴|CD|=5，
∴|CN|=5-2=3，|CM|=5+2=7，
当P位于图形中的N位置时，四边形ACBP面积最小，
过P作圆C的切线，切点分别为A、B，连接AC，BC，可得出|AC|=|BC|=1，且CA⊥AP，CB⊥BP，
在Rt△ACP中，根据勾股定理得：AP=

3

，
此时S_{四边形ACBP}=2S_△ACP=AP•AC=

3

；
当P位于图形中的M位置时，四边形ACBP面积最大，
同理得到S_{四边形ACBP}=3

7

，
综上，f（P）的范围为[

3

，3

7

]．
故答案为：[

3

，3

7

]．

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，两点间的距离公式，以及勾股定理，利用了数形结合的思想，数形结合思想是数学中重要的思想方法，做题时注意灵活运用．