Question

18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A=$\frac{π}{3}$，b（1-cosC）=ccosA，b=2，则△ABC的面积为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• D． $\sqrt{3}$或2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由已知等式利用三角函数恒等变换的应用，正弦定理可得sinBcosC=sinAcosC，可得cosC=0，或sinB=sinA，分类讨论，分别利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 解：∵在△ABC中，b（1-cosC）=ccosA，可得：b=ccosA+bcosC，
∴sinB=sinCcosA+sinBcosC=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，可得：sinBcosC=sinAcosC，
∴cosC=0，或sinB=sinA，
∵A=$\frac{π}{3}$，b=2，
∴当cosC=0时，C=$\frac{π}{2}$，a=$\frac{2}{tan\frac{π}{6}}$=2$\sqrt{3}$，S_△ABC=$\frac{1}{2}$ab=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×2$=2$\sqrt{3}$，
当sinB=sinA时，可得A=B=C=$\frac{π}{3}$，a=b=c=2，S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×2×2×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．
故选：D．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了分类讨论思想，属于中档题．