Question

【题目】为调查高中生的数学成绩与学生自主学习时间之间的相关关系，某重点高中数学教师对新入学的45名学生进行了跟踪调查，其中每周自主做数学题的时间不少于15小时的有19人，余下的人中，在高三模拟考试中数学平均成绩不足120分的占 ，统计成绩后，得到如下的2×2列联表：

	分数大于等于120分	分数不足120分	合 计
周做题时间不少于15小时		4	19
周做题时间不足15小时
合 计			45

（Ⅰ）请完成上面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”；
（Ⅱ）（i） 按照分层抽样的方法，在上述样本中，从分数大于等于120分和分数不足120分的两组学生中抽取9名学生，设抽到的不足120分且周做题时间不足15小时的人数是X，求X的分布列（概率用组合数算式表示）；
（ii） 若将频率视为概率，从全校大于等于120分的学生中随机抽取20人，求这些人中周做题时间不少于15小时的人数的期望和方差．
附：

P（K2≥k0）	0.050	0.010	0.001
k0	3.841	6.635	10.828

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）列联表：

	分数大于等于120分	分数不足120分	合计
周做题时间不少于15小时	15	4	19
周做题时间不足15小时	10	16	26
合计	25	20	45

∵ ，
∴能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”．
（Ⅱ）（ i）9× =4，故需要从不足120分的学生中抽取4人．
X的可能取值为0，1，2，3，4，
P（X=0）= ，P（X=1）= ，P（X=2）= ，P（X=3）= ，P（X=4）= ．
（ ii）从全校大于等于120分的学生中随机抽取1人，此人周做题时间不少于15小时的概率为 =0.6，
设从全校大于等于120分的学生中随机抽取20人，这些人中周做题时间不少于15小时的人数为随机变量Y，则Y～B（20，0.6），
故E（Y）=12，D（Y）=4.8．
【解析】（I）根据比例计算每周自主做数学题的时间不足15小时，且数学平均成绩不足120分的人数，再根据合计数填表；（II）（i）计算抽取的人数中分数不足120分的人数，根据超几何分布的概率公式计算；（ii）根据二项分布的性质计算．