【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠ADC=45°,AD=AC=1,O为AC的中点,PO⊥平面ABCD,PO=1,M为PD的中点. (Ⅰ)证明:PB∥平面ACM;
(Ⅱ)设直线AM与平面ABCD所成的角为α,二面角M﹣AC﹣B的大小为β,求sinαcosβ的值.
【答案】证明:(Ⅰ)连结OM,在△PBD中, ∵O为AC的中点,M为PD的中点.∴OM∥PB,
∵OM平面ACM,PB平面ACM,
∴PB∥平面ACM;
(Ⅱ)取DO的中点N,连结MN,AN,则MN∥PO,
∵PO⊥平面ABCD,∴MN⊥平面ABCD,
∴∠MAN=α为所求的直线AM与平面ABCD所成的角.
∵MN= PO= ,
在Rt△ADO中,∵DO= = ,AN= DO= ,
在Rt△AMN中,AM= = ,
∴sinα= ,(8分)
取AO的中点R,连结NR,MR,
∵NR∥AD,∴NR⊥OA,MN⊥平面ABCD,
由三垂线定理知MR⊥AO,故∠MRN为二面角M﹣AC﹣B的补角,即为π﹣β.
∵NR= ,MN= ,∴cos(π﹣β)=﹣cosβ= ,(11分)
∴sinαcosβ= =﹣ .
【解析】(Ⅰ)连结OM,推导出OM∥PB,由此能证明PB∥平面ACM.(Ⅱ)取DO的中点N,连结MN,AN,则MN∥PO,推导出∠MAN=α为所求的直线AM与平面ABCD所成的角,从而求出sinα= ,取AO的中点R,连结NR,MR,则∠MRN为二面角M﹣AC﹣B的补角,即为π﹣β.从而得到cos(π﹣β)=﹣cosβ= ,由此能求出sinαcosβ.
【考点精析】通过灵活运用直线与平面平行的判定,掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行;简记为:线线平行,则线面平行即可以解答此题.
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【题目】17世纪日本数学家们对这个数学关于体积方法的问题还不了解,他们将体积公式“V=kD3”中的常数k称为“立圆术”或“玉积率”,创用了求“玉积率”的独特方法“会玉术”,其中,D为直径,类似地,对于等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱叫做等边圆柱)、正方体也有类似的体积公式V=kD3 , 其中,在等边圆柱中,D表示底面圆的直径;在正方体中,D表示棱长,假设运用此“会玉术”,求得的球、等边圆柱、正方体的“玉积率”分别为k1 , k2 , k3=( )
A. : :1
B. : :2
C.1:3:
D.1: :
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【题目】如图,四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,∠ADC=90°,AD∥BC,AB⊥AC,AB=AC= ,点E在AD上,且AE=2ED. (Ⅰ)已知点F在BC上,且CF=2FB,求证:平面PEF⊥平面PAC;
(Ⅱ)当二面角A﹣PB﹣E的余弦值为多少时,直线PC与平面PAB所成的角为45°?
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【题目】公元前3世纪,古希腊欧几里得在《几何原本》里提出:“球的体积(V)与它的直径(d)的立方成正比”,此即V=kd3 , 与此类似,我们可以得到: ⑴正四面体(所有棱长都相等的四面体)的体积(V)与它的棱长(a)的立方成正比,即V=ma3;
⑵正方体的体积(V)与它的棱长(a)的立方成正比,即V=na3;
⑶正八面体(所有棱长都相等的八面体)的体积(V)与它的棱长(a)的立方成正比,即V=ta3;
那么m:n:t=( )
A.1:6 :4
B. :12:16
C. :1:
D. :6:4
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【题目】为调查高中生的数学成绩与学生自主学习时间之间的相关关系,某重点高中数学教师对新入学的45名学生进行了跟踪调查,其中每周自主做数学题的时间不少于15小时的有19人,余下的人中,在高三模拟考试中数学平均成绩不足120分的占 ,统计成绩后,得到如下的2×2列联表:
分数大于等于120分 | 分数不足120分 | 合 计 | |
周做题时间不少于15小时 | 4 | 19 | |
周做题时间不足15小时 | |||
合 计 | 45 |
(Ⅰ)请完成上面的2×2列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”;
(Ⅱ)(i) 按照分层抽样的方法,在上述样本中,从分数大于等于120分和分数不足120分的两组学生中抽取9名学生,设抽到的不足120分且周做题时间不足15小时的人数是X,求X的分布列(概率用组合数算式表示);
(ii) 若将频率视为概率,从全校大于等于120分的学生中随机抽取20人,求这些人中周做题时间不少于15小时的人数的期望和方差.
附:
P(K2≥k0) | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k0 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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【题目】已知函数f(x)=lnx﹣2ax,a∈R.
(1)若函数y=f(x)存在与直线2x﹣y=0平行的切线,求实数a的取值范围;
(2)设g(x)=f(x)+ ,若g(x)有极大值点x1 , 求证: >a.
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【题目】在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述:今有良马与驽马发长安至齐,齐去长安一千一百二十五里,良马初日行一百零三里,日增一十三里;驽马初日行九十七里,日减半里;良马先至齐,复还迎驽马,二马相逢.问:几日相逢?( )
A.8日
B.9日
C.12日
D.16日
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