Question

16．已知函数f（x）=a-$\frac{1}{{{2^x}+1}}$，
（1）若a=1，求f（0）的值；
（2）探究f（x）的单调性，并证明你的结论；
（3）若函数f（x）为奇函数，判断|f（ax）|与f（2）的大小．

Answer 1

分析 （1）直接代入即可获得解答；
（2）根据函数单调性的定义，首先应在所给区间上任设两个数并规定大小，然后通过作差法分析获得两数对应函数值之间的大小关系即可；
（3）充分利用好函数的奇偶性，即可求的a的值，通过讨论x的范围，判断出|f（x）|、f（2）的大小关系．

解答 解：（1）a=1时：f（0）=1-$\frac{1}{{2}^{0}+1}$=$\frac{1}{2}$；
（2）∵f（x）的定义域为R∴任取x₁x₂∈R且x₁＜x₂
则f（x₁）-f（x₂）=a-$\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}+1}$-a+$\frac{1}{{2}^{{x}_{2}}+1}$=$\frac{{2}^{{x}_{1}}{-2}^{{x}_{2}}}{{（2}^{{x}_{1}}+1）{（2}^{{x}_{2}}+1）}$．
∵y=2^x在R是单调递增且x₁＜x₂
∴0＜2^x1＜2^x2，∴2^x1-2^x2＜0，
2^x1+1＞0，2^x2+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在R上单调递增．
（3）∵f（x）是奇函数∴f（-x）=-f（x），
即a-$\frac{1}{{2}^{-x}+1}$=-a+$\frac{1}{{2}^{x}+1}$，
解得：a=1．
∴f（ax）=f（x）
又∵f（x）在R上单调递增
∴x＞2或x＜-2时：|f（x）|＞f（2），
x=±2时：|f（x）|=f（2），
-2＜x＜2时：|f（x）|＜f（2）．

点评 本题考查的是函数单调性、奇偶性等知识的综合问题．在解答的过程当中充分体现了计算的能力、单调性定义的应用以及问题转化的能力．值得同学们体会和反思．