Question

1．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的最大值为2$\sqrt{2}$，最小值为-$\sqrt{2}$，周期为π，且图象过（0，-$\frac{\sqrt{2}}{4}$）．
（1）求函数f（x）的解析式，函数f（x）的单调递增区间．
（2）若方程f（x）=a在$[0，\frac{7π}{12}]有两根α、β，求α+β的值及a的取值范围$．

Answer 1

分析 （1）根据三角函数的性质可得A+B=$2\sqrt{2}$，B-A=$-\sqrt{2}$，求出A，B．周期为π，求出ω，图象过（0，-$\frac{\sqrt{2}}{4}$）带入求出φ，可得函数f（x）的解析式，将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；
（2）x∈[0，$\frac{7π}{12}$]时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的最大值和最小值，即得到f（x）的取值范围．方程f（x）=a看成是函数y=f（x）与y=a有两个交点，可得a的取值范围．以及α，β的关系．即可求出α+β的值．

解答 解：（1）函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的最大值为2$\sqrt{2}$，最小值为-$\sqrt{2}$，
根据三角函数的性质，
可得：A+B=$2\sqrt{2}$，B-A=$-\sqrt{2}$，
∴A=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，B=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
又∵周期为π=$\frac{2π}{ω}$，
∴ω=2．
∴函数f（x）=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$sin（2x+φ）+$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∵图象过（0，-$\frac{\sqrt{2}}{4}$），则sinφ=-$\frac{1}{2}$，即φ=$-\frac{π}{6}+2kπ$，k∈Z．
|φ|$＜\frac{π}{2}$，
∴φ=$-\frac{π}{6}$．
则函数f（x）=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$sin（2x$-\frac{π}{6}$）+$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
令$-\frac{π}{2}+2kπ≤$2x$-\frac{π}{6}$$≤\frac{π}{2}+2kπ$．
得：$kπ-\frac{π}{6}$≤x≤$\frac{π}{3}+kπ$，k∈Z．
∴函数f（x）的单调递增区间为[$kπ-\frac{π}{6}$≤x≤$\frac{π}{3}+kπ$]，k∈Z．
（2））x∈[0，$\frac{7π}{12}$]时，
可得：2x$-\frac{π}{6}$∈[$-\frac{π}{6}$，π]．
那么sin（2x$-\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]；
∴f（x）∈[$-\frac{\sqrt{2}}{4}$，2$\sqrt{2}$]．
方程f（x）=a看成是函数y=f（x）与y=a有两个交点，
由三角函数的图象及性质可知：a的取值范围为[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，2$\sqrt{2}$）．
两个交点分别为α，β，具有对称性．x=$\frac{α+β}{2}$为x∈[0，$\frac{7π}{12}$]的一条对称轴．
∴2x$-\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，
可得对称轴为2x=$\frac{2π}{3}$，
即：α+β=$\frac{2π}{3}$．
另解：利用特殊点：令2α$-\frac{π}{6}$=0，可得α=$\frac{π}{12}$，
另一个：2β$-\frac{π}{6}$=π，可得β=$\frac{7π}{12}$，
那么：α+β=$\frac{2π}{3}$．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，确定f（x）的解析式和方程f（x）=a看成是函数y=f（x）与y=a有两个交点是解决本题的关键．两个交点分别为α，β，可以通过三角函数的图象判断，属于中档偏难的题．