Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=，S_n=n²a_n-n(n-1),n∈N^*

(Ⅰ)求证：数列{·S_n}是等差数列；

(Ⅱ)设函数f′_n(x)是f_n(x)=·xⁿ⁺¹的导函数，且b_n=f′_n(p)，p＞0，p≠1，若T_n=，试问的极限是否存在?若存在，求出其极限值；若不存在，说明理由.

Answer 1

解：(Ⅰ)当n≥2时,

 

= 

∴数列是以1为首项和公差的等差数列. 

(Ⅱ)由(Ⅰ)知:S_n=1+n-1=nS_n=；

∴(x)=·S_n·xⁿ=nxⁿ,b_n=(p)=npⁿ, 

T_n==b₁+b₂+…+b_n=p+2p²+3p³+…+npⁿ,    ①

由于p＞0,p≠1,故pT_n=p²+2p³+3p⁴+…+npⁿ⁺¹,  ②

①-②得：(1-p)T_n=p+p²+p³+…+pⁿ-npⁿ⁺¹=-npⁿ⁺¹, 

T_n=,  

从而,∴当0＜p＜1时,,

当p＞1且n→∞时,不存在.