Question

如图中，图一的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在如图二画出（单位：cm），P为原长方体上底面A₁B₁C₁D₁的中心．
（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图（直尺作图）；
（2）以D为原点建立适当的空间直角坐标系（右手系），在图中标出坐标轴，并按照给出的尺寸写出点E，P的坐标；
（3）连接AP，证明：AP∥面EFG．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,简单空间图形的三视图

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）通过几何体的结构特征画出在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图（直尺作图）；
（2）以D为原点建立适当的空间直角坐标系（右手系），在图中标出坐标轴，并按照给出的尺寸直接写出点E，P的坐标；
（3）连接AB₁，AD₁，B₁D₁，证明GF∥面AB₁D₁，EF∥面AB₁D₁，利用平面与平面平行证明AP∥面EFG．

解答： （1）解：如图二（徒手作图不得分，尺寸不准确酌情给分）…（4分）
（2）解：建立如图一直角坐标系

E（4，0，2）P（2，3，4）…（8分）
（3）证明：连接AB₁，AD₁，B₁D₁，依题意知：E，F，G分别为原长方体所在棱中点，
∵GF∥B₁D₁，GF?面AB₁D₁
∴GF∥面AB₁D₁
∵EF∥AB₁，EF?面AB₁D₁
∴EF∥面AB₁D₁
又GF∩EF=F
∴面EFG∥面AB₁D₁
又∵AP?面AB₁D₁
∴AP∥面EFG…（12分）

点评：本题考查空间几何体的三视图，以及空间点的坐标的求法，直线与平面平行的判定定理的应用，空间想象能力以及逻辑推理能力．