Question

10．某工厂共有10台机器，生产一种仪器元件，由于受生产能力和技术水平等因素限制，会产生一定数量的次品．根据经验知道，若每台机器产生的次品数P（万件）与每台机器的日产量x（万件）（4≤x≤12）之间满足关系：P=0.1x²-3.2lnx+3，已知每生产1万件合格的元件可以盈利2万元，但每产生1万件装次品将亏损1万元．（利润=盈利-亏损）
（I）试将该工厂每天生产这种元件所获得的利润y（万元）表示为x的函数；
（II）当每台机器的日产量x（万件）写为多少时所获得的利润最大，最大利润为多少？

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用利润=盈利-亏损，得到y与p的关系，将p代入整理即可；
（Ⅱ）对（Ⅰ）的解析式求导，判定取最大值时的x值，求最大利润．

解答 解：（I）由题意，所获得的利润为
y=10[2（x-p）-p]=10（2x-3p）=20x-30p=20x-3x²+96lnx-90（4≤x≤12）
（II）由（Ⅰ）得y'=20-6x+$\frac{96}{x}$=$\frac{-6{x}^{2}+20x+96}{x}=\frac{-2（3x+8）（x-6）}{x}$，
令y'=0，得到x=6或x=-$\frac{8}{3}$（舍去）；
所以当4≤x＜6，y'＞0，函数在[4，6]为增函数，当6＜x＜12时，y'＜0，函数在（6，12）为减函数；
所以当x=6时，函数去极大值，即最大值，
所以当x=6时利润最大，为20×6-3×6²+96ln6-90=96ln6-78（万元），
当每台机器的日产量为6（万件）时所获得的利润最大，最大利润为96ln6-78万元．

点评 本题考查了导数的实际应用，关键是建立函数关系，利用求导，求最值．