Question

4．设数列{a_n}满足：a_n+1=a_n+$\frac{1}{n（n+1）}$，a₃=1，则a₁=$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 通过a_n+1=a_n+$\frac{1}{n（n+1）}$可知a_n-a_n-1=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$，a_n-1-a_n-2=$\frac{1}{n-2}$-$\frac{1}{n-1}$，…，a₂-a₁=1-$\frac{1}{2}$，累加计算可知a_n=a₁+1-$\frac{1}{n}$，进而计算可得结论．

解答 解：∵a_n+1=a_n+$\frac{1}{n（n+1）}$，
∴a_n+1-a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴a_n-a_n-1=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$，
a_n-1-a_n-2=$\frac{1}{n-2}$-$\frac{1}{n-1}$，
…
a₂-a₁=1-$\frac{1}{2}$，
累加得：a_n-a₁=1-$\frac{1}{n}$，
∴a_n=a₁+1-$\frac{1}{n}$，
又∵a₃=1，
∴1=a₁+1-$\frac{1}{3}$，
∴a₁=$\frac{1}{3}$，
故答案为：$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查数列的通项，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．