Question

9．已知数列{a_n}满足a_n+1=2×3ⁿ×a_n⁵，a₁=7，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 通过对等式a_n+1=2×3ⁿ×a_n⁵两边同时取对数可知log₃a_n+1=log₃2+n+5log₃a_n，进而变形可知数列{log₃a_n+$\frac{1}{4}$n+$\frac{1+4lo{g}_{3}2}{16}$}是以$\frac{5}{16}$+$\frac{1}{4}$log₃2+log₃7为首项、5为公比的等比数列，计算即得结论．

解答 解：∵a_n+1=2×3ⁿ×a_n⁵，
∴log₃a_n+1=log₃（2×3ⁿ×a_n⁵）=log₃2+n+5log₃a_n，
∴log₃a_n+1+$\frac{1}{4}$（n+1）+$\frac{1+4lo{g}_{3}2}{16}$=5（log₃a_n+$\frac{1}{4}$n+$\frac{1+4lo{g}_{3}2}{16}$），
又∵log₃a₁+$\frac{1}{4}$+$\frac{1+4lo{g}_{3}2}{16}$=$\frac{5}{16}$+$\frac{1}{4}$log₃2+log₃7，
∴数列{log₃a_n+$\frac{1}{4}$n+$\frac{1+4lo{g}_{3}2}{16}$}是以$\frac{5}{16}$+$\frac{1}{4}$log₃2+log₃7为首项、5为公比的等比数列，
∴log₃a_n+$\frac{1}{4}$n+$\frac{1+4lo{g}_{3}2}{16}$=（$\frac{5}{16}$+$\frac{1}{4}$log₃2+log₃7）•5^n-1，
∴log₃a_n=（$\frac{5}{16}$+$\frac{1}{4}$log₃2+log₃7）•5^n-1-（$\frac{1}{4}$n+$\frac{1+4lo{g}_{3}2}{16}$），
∴a_n=${3}^{（\frac{5}{16}+\frac{1}{4}lo{g}_{3}2+lo{g}_{3}7）•{5}^{n-1}-（\frac{1}{4}n+\frac{1+4lo{g}_{3}2}{16}）}$．

点评 本题考查数列的通项，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．