Question

19．不等式x²+2x＜$\frac{a}{b}$+$\frac{16b}{a}$对任意a，b∈（0，+∞）恒成立，则实数x的取值范围是（-4，2）．

Answer 1

分析 由题意可得x²+2x＜$\frac{a}{b}$+$\frac{16b}{a}$的最小值，运用基本不等式可得$\frac{a}{b}$+$\frac{16b}{a}$的最小值，由二次不等式的解法即可得到所求范围．

解答 解：不等式x²+2x＜$\frac{a}{b}$+$\frac{16b}{a}$对任意a，b∈（0，+∞）恒成立，
即为x²+2x＜$\frac{a}{b}$+$\frac{16b}{a}$的最小值，
由$\frac{a}{b}$+$\frac{16b}{a}$≥2$\sqrt{\frac{a}{b}•\frac{16b}{a}}$=8，
当且仅当$\frac{a}{b}$=$\frac{16b}{a}$，即有a=4b，取得等号，
则有x²+2x＜8，解得-4＜x＜2．
故答案为：（-4，2）．

点评 本题考查不等式的恒成立问题的解法，同时考查基本不等式的运用：求最值，属于中档题和易错题．