Question

4．已知a∈R，f（x）=（x²-4）（x-a）．
（1）求f′（x）；
（2）若f′（-1）=0，求函数f（x）在[-2，4]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）将f（x）展开，利用导数的公式以及运算法则求导．
（2）利用f′（-1）=0求出a，得到f（x）的解析式以及导数，求出极值点，比较端点函数值与极值的大小，得到最值．

解答 解：（1）f（x）=（x²-4）（x-a）=x³-ax²-4x+4a，
所以f′（x）=（x³-ax²-4x+4a）'=3x²-2ax-4；
（2）若f′（-1）=0，则3+2a-4=0解得a=$\frac{1}{2}$，
所以f（x）=（x²-4）（x-$\frac{1}{2}$）．令f'（x）=3x²-x-4=0解得x=-1，x=$\frac{4}{3}$．
f（-2）=0，f（-1）=$\frac{9}{2}$，f（$\frac{4}{3}$）=$-\frac{50}{27}$，f（4）=42，
所以函数f（x）在[-2，4]上的最大值为42，最小值为$-\frac{50}{27}$．

点评 本题考查了函数求导以及函数闭区间的最值的求法．