Question

12．如图C是△PAB边AB内的一点，下列说法正确的是（　　）

• A． PCsin（α+β）=PBsinα+PAsinβ
• B． PCsin（α+β）=PAsinα+PBsinβ
• C． $\frac{sin（α+β）}{PC}$=$\frac{sinα}{PB}$+$\frac{sinβ}{PA}$
• D． $\frac{sin（α+β）}{PC}$=$\frac{sinα}{PA}$+$\frac{sinβ}{PB}$

Answer 1

分析 根据正弦定理，进行转化进行证明即可．

解答 解：∵$\frac{sin（α+β）}{AB}=\frac{sinA}{PB}$，$\frac{sinα}{AC}=\frac{sinA}{PC}$，
∴AB=$\frac{PB•sin（α+β）}{sinA}$，
AC=$\frac{sinα•PC}{sinA}$，
∵$\frac{sinβ}{BC}=\frac{sinB}{PC}$，
∴BC=$\frac{sinβ•PC}{sinB}$，
∵AB=AC+BC，
∴$\frac{PB•sin（α+β）}{sinA}$=$\frac{sinα•PC}{sinA}$+$\frac{sinβ•PC}{sinB}$，
即sinα•PC+sinβPC$•\frac{PB}{PA}$=PB•sin（α+β），
即sinα•PC•PA+sinβ•PB•PC=PA•PB•sin（α+β），
两边同除以PA•PB•PC得$\frac{sin（α+β）}{PC}$=$\frac{sinα}{PB}$+$\frac{sinβ}{PA}$，
故选：C．

点评 本题主要考查解三角形的应用，利用正弦定理是解决本题的关键．