Question

9．△ABC对边abc，面积S、A定值，P线是段BC动点，PD⊥AB，PE⊥AC，求△PDE的面积最大值，a与周长p的最小值．

Answer 1

分析 设PD=x，PE=y，S=$\frac{1}{2}$bcsinA，可得bc为定值，运用面积公式可得S=$\frac{1}{2}$（cx+by），△PDE的面积为$\frac{1}{2}$xysin（180°-A），由基本不等式可得△PDE的面积的最大值，再由余弦定理，结合重要不等式可得a的最小值和周长p的最小值．

解答 解：设PD=x，PE=y，S=$\frac{1}{2}$bcsinA，
则有bc=$\frac{2S}{sinA}$，
又S=$\frac{1}{2}$（cx+by），
即有cx+by=2S≥2$\sqrt{bcxy}$，
即为xy≤$\frac{{S}^{2}}{bc}$，当且仅当cx=by，取得等号．
则△PDE的面积为$\frac{1}{2}$xysin（180°-A）≤$\frac{{S}^{2}sinA}{2bc}$，
即有最大值为$\frac{{S}^{2}sinA}{2bc}$，
由余弦定理可得a²=b²+c²-2bccosA≥2bc-2bccosA，
即有a≥$\sqrt{2bc（1-cosA）}$（当且仅当b=c取得等号），
则a+b+c≥$\sqrt{2bc（1-cosA）}$+2$\sqrt{bc}$（当且仅当b=c取得等号），
则有△PDE的面积最大值为$\frac{S}{2}$sin²A，a的最小值为2$\sqrt{Stan\frac{A}{2}}$，
周长p的最小值为2$\sqrt{\frac{S（1-cosA）}{sinA}}$+2$\sqrt{\frac{2S}{sinA}}$．

点评 本题考查余弦定理和三角形的面积公式的运用，考查基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于中档题．