Question

6．已知集合M={x|-5≤x≤1}，N={y|y=ax²+2ax+a²+a-1}，若（∁_RM）∪N=R，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 根据集合的基本关系进行求解即可．

解答 解：∵M={x|-5≤x≤1}，
∴∁_RM={x|x＞1或x＜-5}，
N={y|y=ax²+2ax+a²+a-1=a（x+1）²+a²-1}，
若a=0，则N={-1}，不满足条件（∁_RM）∪N=R．
若a＞0，则N={y|y≥a²-1}，
若（∁_RM）∪N=R．
则a²-1≤-5即a²≤-4，此时无解，
若a＜0，则N={y|y≤a²-1}，
若（∁_RM）∪N=R．
则a²-1≥1即a²≥2，此时a≥$\sqrt{2}$（舍）或a≤-$\sqrt{2}$，
此时a≤-$\sqrt{2}$，
即实数a的取值范围是（-∞，-$\sqrt{2}$]．

点评 本题主要考查集合的基本关系的应用，根据一元二次函数的性质求出集合N是解决本题的关键．