Question

1．在数列{a_n}中，a₁=2，n²a_n=（n²-1）a_n-1（n≥2），则a₁₀=$\frac{11}{10}$．

Answer 1

分析 通过对n²a_n=（n²-1）a_n-1（n≥2）变形可知$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{\frac{n-1}{n}}{\frac{n}{n+1}}$，利用累乘法可知数列{a_n}的通项公式a_n=$\frac{n+1}{n}$，进而计算可得结论．

解答 解：∵n²a_n=（n²-1）a_n-1（n≥2），
∴$\frac{n}{n+1}$•a_n=$\frac{n-1}{n}$•a_n-1，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{\frac{n-1}{n}}{\frac{n}{n+1}}$，
$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$=$\frac{\frac{n-2}{n-1}}{\frac{n-1}{n}}$，
…
$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{2}{3}}$，
累乘得：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}$=$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{n}{n+1}}$，
∴a_n=$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{n}{n+1}}$•a₁
=$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{n}{n+1}}$•2
=$\frac{n+1}{n}$（n≥2），
又∵a₁=2满足上式，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=$\frac{n+1}{n}$，
∴a₁₀=$\frac{11}{10}$，
故答案为：$\frac{11}{10}$．

点评 本题考查数列的通项，考查运算求解能力，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．