Question

6．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cos$\frac{3x}{4}$，sin$\frac{3x}{4}$），$\overrightarrow{b}$=（cos（$\frac{x}{4}$+$\frac{π}{3}$），-sin（$\frac{x}{4}$+$\frac{π}{3}$）），且x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]
（1）若f（x）=|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|的解析式；
（2）求函数f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）根据平面向量数量积的坐标运算，求出$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$的模长即可；
（2）根据三角函数的图象与性质，求出函数f（x）的最大值与最小值．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{a}$=（cos$\frac{3x}{4}$，sin$\frac{3x}{4}$），$\overrightarrow{b}$=（cos（$\frac{x}{4}$+$\frac{π}{3}$），-sin（$\frac{x}{4}$+$\frac{π}{3}$）），
∴$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=（cos$\frac{3x}{4}$+cos（$\frac{x}{4}$+$\frac{π}{3}$），sin$\frac{3x}{4}$-sin（$\frac{x}{4}$+$\frac{π}{3}$）），
∴${（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）}^{2}$=${[cos\frac{3x}{4}+cos（\frac{x}{4}+\frac{π}{3}）]}^{2}$+${[sin\frac{3x}{4}-sin（\frac{x}{4}+\frac{π}{3}）]}^{2}$
=2+2cos$\frac{3x}{4}$cos（$\frac{x}{4}$+$\frac{π}{3}$）-2sin$\frac{3x}{4}$sin（$\frac{x}{4}$+$\frac{π}{3}$）
=2+2cos（x+$\frac{π}{3}$）；
∴f（x）=|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{2+2cos（x+\frac{π}{3}）}$，x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]；
（2）∵f（x）=$\sqrt{2+2cos（x+\frac{π}{3}）}$，
且x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴cos（x+$\frac{π}{3}$）∈[-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]；
∴2+2cos（x+$\frac{π}{3}$）∈[0，2+$\sqrt{3}$]，
∴$\sqrt{2+2cos（x+\frac{π}{3}）}$∈[0，$\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$]；
∴函数f（x）的最大值为$\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$，最小值为0．

点评 本题考查了平面向量的坐标运算问题，也考查了三角函数的应用问题，是综合性题目．