Question

20．函数f（x）的定义域为R，若对任意实数x，y∈R，都有f（x）+f（y）=2f（x²-y²），且f（x）在[0，+∞）上为增函数．
（1）求证：f（x）为偶函数；
（2）若f（a-2）-f（4-a）＜0，试求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）以-x代替x，即可证明f（x）为偶函数；
（2）若f（a-2）-f（4-a）＜0，利用f（x）为偶函数，f（x）在[0，+∞）上为增函数，可得|a-2|＜|4-a|，即可求a的取值范围．

解答 （1）证明：以-x代替x，可得f（-x）+f（y）=2f[（-x）²-y²]=2f（x²-y²）=f（x）+f（y），
∴f（-x）=f（x），
∴f（x）为偶函数；
（2）解：∵f（a-2）-f（4-a）＜0，
∴f（a-2）＜f（4-a），
∵f（x）为偶函数，f（x）在[0，+∞）上为增函数，
∴|a-2|＜|4-a|，
∴a＜3．

点评 本题考查函数的奇偶性与单调性，考查学生解不等式的能力，属于中档题．