【题目】已知函数(常数
)满足
.
(1)求的值,并对常数
的不同取值讨论函数
奇偶性;
(2)若在区间
上单调递减,求
的最小值.
(3)若方程在
有解,求
的取值范围.
【答案】(1)时,偶函数,
时,非奇非偶函数;
(2);(3)
;
【解析】
(1)由函数(常数
,
满足
(1)
.可得
值,结合奇偶性的性质,对
分类讨论,可得不同情况下函数
奇偶性;(2)若
在区间
上单调递减,则
在区间
上恒成立,进而可得
的最小值;(3)若方程
在
,
有解,则
在
,
有解,结合对勾函数的图象和性质,可得答案.
(1)函数
(常数
,
满足
(1)
.
,
解得;
当时,函数为偶函数,
当时,函数为非奇非偶函数;
(2)由(1)得:
则,
若在区间
上单调递减,
则在区间
上恒成立,
即在区间
上恒成立,
当时,
,
故的最小值为
;
(3)方程在
,
有解,
即在
,
有解,
即在
,
有解,
根据对勾函数的图象和性质可得:
当时,
取最小值6,
当时,
取最大值
,
故.
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【题目】当我们所处的北半球为冬季的时候,新西兰的惠灵顿市恰好是盛夏,因此北半球的人们冬天愿意去那里旅游,下面是一份惠灵顿机场提供的月平均气温统计表.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
17.3 | 17.9 | 17.3 | 15.8 | 13.7 | 11.6 | 10.06 | 9.5 | 10.06 | 11.6 | 13.7 | 15.8 |
(1)根据这个统计表提供的数据,为惠灵顿市的月平均气温作出一个函数模型;
(2)当自然气温不低于13.7℃时,惠灵顿市最适宜旅游,试根据你所确定的函数模型,确定惠灵顿市的最佳旅游时间.
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【题目】已知抛物线上一点
到焦点F的距离
,倾斜角为α的直线经过焦点F,且与抛物线交于两点A、B。
(1)求抛物线的标准方程及准线方程;
(2)若α为锐角,作线段AB的中垂线m交x轴于点P。证明:。
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【题目】某校为了推动数学教学方法的改革,学校将高一年级部分生源情况基本相同的学生分成甲、乙两个班,每班各40人,甲班按原有模式教学,乙班实施教学方法改革.经过一年的教学实验,将甲、乙两个班学生一年来的数学成绩取平均数,两个班学生的平均成绩均在,按照区间
,
,
,
,
进行分组,绘制成如下频率分布直方图,规定不低于80分(百分制)为优秀.
完成表格,并判断是否有以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”;
(2)从乙班,
,
分数段中,按分层抽样随机抽取7名学生座谈,从中选三位同学发言,记来自
发言的人数为随机变量
,求
的分布列和期望.
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【题目】已知函数f(x)在R上是增函数,则下列说法正确的是( )
A.y=-f(x)在R上是减函数
B.y=在R上是减函数
C.y=[f(x)]2在R上是增函数
D.y=af(x)(a为实数)在R上是增函数
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【题目】对于函数f(x),若存在x0∈R,使f(x0)=x0,则称x0是f(x)的一个不动点,已知f(x)=x2+ax+4在[1,3]恒有两个不同的不动点,则实数a的取值范围______.
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【题目】已知抛物线,斜率为
的直线
交抛物线
于
,
两点,当直线
过点
时,以
为直径的圆与直线
相切.
(1)求抛物线的方程;
(2)与平行的直线
交抛物线于
,
两点,若平行线
,
之间的距离为
,且
的面积是
面积的
倍,求
和
的方程.
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