Question

15．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，等比数列{b_n}的前n项和为T_n，满足a₁=b₁，2a₂=b₂，S₂+T₂=13，2S₃=b₃．
（Ⅰ）求数列{a_n}、{b_n}通项公式；
（Ⅱ）设c_n=$\frac{{2{a_n}}}{b_n}$，求数列{c_n}的前n项和为C_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q，由已知列式求得首项和等差数列的公差及等比数列的公比，则数列{a_n}、{b_n}通项公式可求；
（Ⅱ）把数列{a_n}、{b_n}通项公式代入c_n=$\frac{{2{a_n}}}{b_n}$，然后利用错位相减法求得数列{c_n}的前n项和为C_n．

解答 解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q，
则$\left\{\begin{array}{l}{a_1}={b_1}\\ 2（{{a_1}+d}）={b_1}q\\ 2{a_1}+d+{b_1}+{b_1}q=13\\ 2（{3{a_1}+3d}）={b_1}{q^2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=2\\{b_1}=2\\ d=1\\ q=3\end{array}\right.$，
故${a_n}=n+1，{b_n}=2•{3^{n-1}}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：c_n=$\frac{{2{a_n}}}{b_n}$=$\frac{n+1}{{3}^{n-1}}$，
∴${C}_{n}={c}_{1}+{c}_{2}+…+{c}_{n}=2+3×\frac{1}{3}+4×\frac{1}{{3}^{2}}+…+（n+1）×\frac{1}{{3}^{n-1}}$，
$3{C}_{n}=2×3+3×1+4×\frac{1}{3}+…+（n+1）×\frac{1}{{3}^{n-2}}$．
两式相减得：$2{C_n}=7+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+…+\frac{1}{{{3^{n-2}}}}-（{n+1}）×\frac{1}{{{3^{n-1}}}}=7+\frac{{\frac{1}{3}-{{（{\frac{1}{3}}）}^{n-1}}}}{{1-\frac{1}{3}}}-（{n+1}）×\frac{1}{{{3^{n-1}}}}$
=$7+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}{（{\frac{1}{3}}）^{n-2}}-（{n+1}）×\frac{1}{{{3^{n-1}}}}=\frac{15}{2}-\frac{2n+5}{{2•{3^{n-1}}}}$．
∴${C_n}=\frac{15}{4}-\frac{2n+5}{{4•{3^{n-1}}}}$．

点评 本题考查等差数列与等比数列的通项公式，考查了错位相减法求数列的前n项和，是中档题．