Question

已知α∈(0，

π

2

)，tanα=

1

2

，求
（1）tan2α
（2）sin(2α+

π

3

)的值．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角的正切函数公式化简所求的式子，把tanα的值代入即可求出值；
（2）由α的范围及tanα的值，得到2α的范围，利用万能公式用tanα表示出sin2α和cos2α，把tanα的值代入求出sin2α和cos2α的值，然后利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简所求的式子，把sin2α和cos2α的值代入即可求出值．

解答：解：（1）∵tanα=

1

2

，
∴tan2α=

2tanα

1-tan2α

=

2× 1 2

1- 1 4

=

4

3

；
（2）由tanα=

1

2

＜1，得到α∈(0，

π

4

)，
∴2α∈（0，

π

2

），
∴sin2α=

2tanα

1+tan2α

=

2× 1 2

1+ 1 4

=

4

5

，cos2α=

1-tan2α

1+tan2α

=

1- 1 4

1+ 1 4

=

3

5

，
则sin(2α+

π

3

)=sin2αcos

π

3

+cos2αsin

π

3

=

4

5

×

1

2

+

3

5

×

3

2

=

4+3 3

10

．

点评：此题考查了二倍角的正切函数公式，两角和与差的正弦函数公式，特殊角的三角函数值，以及万能公式，熟练掌握公式是解本题的关键．同时注意万能公式适用的条件是2α≠2kπ+π（k∈Z）．