Question

已知向量|

a

|=1，|

b

|=1，
（1）若

a

-2

b

与

a

垂直，求

a

与

b

的夹角；
（2）若

a

⊥

b

，且

c

=

a

+2x

b

，

d

=3x

a

+2

b

，若

c

，

d

的夹角为钝角，求x的取值范围．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：（1）由（

a

-2

b

）⊥

a

，可得（

a

-2

b

）•

a

=0，即可解出．
（2）由

a

⊥

b

，|

a

|=1，|

b

|=1，可取

a

=（1，0），

b

=（0，1）．利用向量的坐标运算可得

c

=（1，2x），

d

=（3x，2），由于

c

，

d

的夹角为钝角，可得

c

•

d

＜0，且

c

与

d

不能异向共线．解出即可．

解答： 解：（1）∵（

a

-2

b

）⊥

a

，
∴（

a

-2

b

）•

a

=

a

2-2

a

•

b

=1-2cos＜

a

，

b

＞=0，
解得cos＜

a

，

b

＞=

1

2

，
∴＜

a

，

b

＞=

π

3

．
（2）∵

a

⊥

b

，|

a

|=1，|

b

|=1，可取

a

=（1，0），

b

=（0，1）．
∴

c

=

a

+2x

b

=（1，0）+2x（0，1）=（1，2x），

d

=3x

a

+2

b

=3x（1，0）+2（0，1）=（3x，2），
∵

c

，

d

的夹角为钝角，
∴

c

•

d

＜0，且

c

与

d

不能异向共线．
∴3x+4x＜0，且6x²≠2．
解得x＜0且x≠

3

3

．
∴x的取值范围是x＜0且x≠

3

3

．

点评：本题考查了向量垂直与数量积的关系、数量积运算性质、向量的夹角公式，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．