Question

3．已知abc≠0，方程（ac-bc）x²+（bc-ab）x+（ab-ac）=0有两个相等实根，求证：$\frac{1}{b}$-$\frac{1}{a}$=$\frac{1}{c}$-$\frac{1}{b}$．

Answer 1

分析 令f（x）=（ac-bc）x²+（bc-ab）x+（ab-ac），则f（1）=c（a-b）+b（c-a）+a（b-c）=0，则方程有两个相等的实数根1，运用韦达定理，即可得证．

解答 证明：令f（x）=（ac-bc）x²+（bc-ab）x+（ab-ac），
则f（1）=ac-bc+bc-ab+ab-ac=0，
即有1为f（x）=0的根，
由题意可得f（x）=0有两个相等实根1，
则1×1=$\frac{ab-ac}{ac-bc}$，
即有ab-ac=ca-cb，
即2ac=b（a+c），
即为 $\frac{2}{b}$=$\frac{1}{c}$+$\frac{1}{a}$，整理可得：$\frac{1}{b}$-$\frac{1}{a}$=$\frac{1}{c}$-$\frac{1}{b}$．

点评 本题考查二次函数和二次方程的关系，注意运用韦达定理，考查运算能力，属于基础题．