Question

【题目】已知椭圆的离心率为，、分别为左、右顶点，为其右焦点，是椭圆上异于、的动点，且的最小值为-2．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若过左焦点的直线交椭圆于两点，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）由椭圆的离心率得到的关系，再由的最小值为求得的值，则可求，椭圆方程可求；（2）由（1）知，则斜率不存在时，用坐标分别表示出，直接求得；直线斜率存在时，设直线的方程为，代入椭圆方程，消去得，利用根与系数的关系求得的横坐标的积，把转化为的横坐标的和与积的形式，代入后化为关于的函数式得答案．

试题解析：（1）根据题意知，即，

∴，则，

设，

∵，

，

∵，∴当时，，

∴，则．

∴椭圆的方程为．

（2）由，，得，

∴，，

则直线斜率不存在时，

，，于是，．

直线斜率存在时，设直线的方程为，代入椭圆方程，消去得

，

设，，则，，

∵，，

∴

．

∵，∴．

∴．

综上知，．