Question

【题目】若函数和满足：在区间上均有定义；函数在区间上至少有一个零点，则称和在上具有关系W．

若，，判断和在上是否具有关系W，并说明理由；

若和在上具有关系W，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2） .

【解析】

（1）根据[a，b]上至少有一个零点，则称f（x）和g（x）在区间[a，b]上具有关系G．利用特殊值但判断出即可；（2）根据在区间[a，b]上具有关系G的性质，结合x∈[1，4]，利用二次函数的性质，讨论m即可．

（1）f（x）和g（x）在[1，3]具有关系G．

令h（x）=f（x）﹣g（x）=lnx+x﹣2，

∵h（1）=﹣1＜0，h（2）=ln2＞0；

故h（1）h（2）＜0，又h（x）在[1，2]上连续，

故函数y=f（x）﹣g（x）在区间[1，2]上至少有一个零点，

故f（x）和g（x）在[1，3]上具有关系G；

（2）令h（x）=f（x）﹣g（x）=2|x﹣2|+1﹣mx2，

当m≤0时，易知h（x）在[1，4]上不存在零点，

当m＞0时，h（x）=，

当1≤x≤2时，

由二次函数知h（x）在[1，2]上单调递减，

故，

故m∈[，3]，

当m∈（0，）∪（3，+∞）时，

若m∈（0，），则h（x）在（2，4]上单调递增，

而h（2）＞0，h（4）＞0；

故没有零点；

若m∈（3，+∞），则h（x）在（2，4]上单调递减，

此时，h（2）=﹣4m+1＜0；

故没有零点；

综上所述，

若f（x）=2|x﹣2|+1和g（x）=mx2在[1，4]上具有关系G，

则m∈[，3]．