Question

函数f(x)=

a-x2

|x+1|-1

为奇函数的充要条件是（　　）

• A、0＜a＜1
• B、0＜a≤1
• C、a＞1
• D、a≥1

Answer 1

分析：函数是奇函数，所以分母去绝对值后一定为x，结合奇函数的定义域，得到x的范围，再根据二次根式的定义求a的范围即可．

解答：解：（先看必要性）∵函数f(x)=

a-x2

|x+1|-1

为奇函数
∴f（-x）=-f（x）
∴|x+1|-1=x，即x≥-1
而奇函数的定义域关于原点对称
∴函数f（x）的定义域为[-a，0）∪（0，a]⊆[-1，0）∪（0，1]
∴0＜a≤1
（再看充分性）∵0＜a≤1
而a-x²≥0
∴x²≤a≤1
∴-1≤x≤1且x≠0
∴|x+1|-1=x∴f(x)=

a-x2

x

∴f（x）为奇函数
故选B

点评：本题考查函数的奇偶性，以及充要条件的概念运用，解题时要挖掘出函数的定义域，此类题目定义域容易被忽视而难以解决．