Question

已知函数f(x)=

a(x-1)2+1

bx+c-b

（a，b，c∈N），且f（2）=2，f（3）＜3，
且f（x）的图象按向量

e

=(-1，0)平移后得到的图象关于原点对称．
（1）求a、b、c的值；
（2）设0＜|x|＜1，0＜|t|≤1，求证不等式|t+x|-|t-x|＜|f（tx+1）|；
（3）已知x＞0，n∈N^*，求证不等式[f（x+1）]ⁿ-f（xⁿ+1）≥2ⁿ-2．

Answer 1

分析：（1）由f（x）的图象按向量

e

=(-1，0)平移后得到的图象关于原点对称，可以求出c的值；根据f（2）=2，f（3）＜3，
可以求出a、b的值；
（2）利用绝对值不等式的性质，证明左边大于等于2，右边小于2即可；
（3）[f(x+1)]n-f(xn+1)=(x+

1

x

)n-(xn+

1

xn

)，再借助于二项式的系数的性质可证．

解答：解：（1）将f（x）的图象按向量

e

=(-1，0)平移后得到的解析式为f(x+1)=

ax2+1

bx+c

若g(x)=

ax2+1

bx+c

关于原点对称，则当x=0时有意义，必有g（0）=0…（2分）
而g（0）≠0，所以c=0，且b≠0
∵f(2)=

a+1

b+c

=2，∴f(2)=

a+1

b

=2⇒a=2b-1，
∵f(3)=

4a+1

2b+c

＜3，∴f(3)=

4a+1

2b

＜3⇒4a＜6b-1
∴8b-4＜6b-1⇒b＜

3

2

，
又b∈N，b≠0，所以b=1，a=1∴f(x)=

(x-1)2+1

x-1

…（4分）
（2）|f(tx+1)|=|

(tx)2+1

tx

|=|tx+

1

tx

|
∵tx与

1

tx

同号，所以|tx+

1

tx

|=|tx|+

1

|tx|

≥2…（6分）
而|t+x|-|t-x|≤|t+x-（t-x）|=2|x|＜2
∴|t+x|-|t-x|＜|f（tx+1）|…（8分）
（3）[f(x+1)]n-f(xn+1)=(x+

1

x

)n-(xn+

1

xn

)…（9分）
令g(x)=(x+

1

x

)n-(xn+

1

xn

)，（x＞0）
则g(x)=

C

1 n

xn-1(

1

x

)1+

C

2 n

xn-2(

1

x

)2+…+

C

n-1 n

x1(

1

x

)n-1，…..①g(x)=

C

n-1 n

x1(

1

x

)n-1+

C

n-2 n

x2(

1

x

)n-2+…+

C

1 n

xn-1(

1

x

)1…..②
①②相加得2g(x)=[

C

1 n

xn-1(

1

x

)1+

C

n-1 n

x1(

1

x

)n-1]+…+[

C

n-1 n

x1(

1

x

)n-1+

C

1 n

xn-1(

1

x

)1]
=

C

1 n

[xn-1(

1

x

)1+x1(

1

x

)n-1]+…+

C

n-1 n

[x1(

1

x

)n-1+xn-1(

1

x

)1]…（12分）
≥2（C_n¹+C_n²+…+C_n^n-1）=2（2ⁿ-2）
∴g（x）≥2ⁿ-2，即[f（x+1）]ⁿ-f（xⁿ+1）≥2ⁿ-2，当x=1时取等号…（14分）

点评：本题主要考查函数解析式的求解，考查绝对值不等式的性质，综合性强．