Question

已知数列{a_n}和{b_n}满足：a₁=λ，其中λ为实数，n为正整数．
（1）对任意实数λ，证明数列{a_n}不是等比数列；
（2）试判断数列{b_n}是否为等比数列，并证明你的结论；
（3）设0＜a＜b，S_n为数列{b_n}的前项n和．是否存在实数λ，使得对任意正整数n，都有a＜
S_n＜b?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

解（Ⅰ）证明：假设存在一个实数λ，使｛a_n｝是等比数列，则有a₂₂=a₁a₃，
即矛盾．
所以｛a_n｝不是等比数列．
(Ⅱ)解：因为b_n+1=(-1)ⁿ⁺¹［a_n+1-3(n-1)+21］
=(-1)ⁿ⁺¹(a_n-2n+14)=(-1)ⁿ·（a_n-3n+21）=-b_n
又b₁x-(λ+18)，所以当λ＝－18，b_n=0(n∈N⁺)，此时｛b_n｝不是等比数列：
当λ≠－18时，b₁=(λ+18) ≠0，
由上可知b_n≠0，∴(n∈N⁺)．
故当λ≠-18时，数列｛b_n｝是以－（λ＋18）为首项，－为公比的等比数列．
(Ⅲ)由（Ⅱ）知，当λ=-18，b_n=0，S_n=0，不满足题目要求．
∴λ≠-18，故知b_n= -（λ+18）·（－）^n-1，
于是可得S_n=-
要使a<S_n<b对任意正整数n成立，即a<-(λ+18)·［1-（-）n］〈b(n∈N⁺)              
   ①
令，则当n为正奇数时，1<f(n)
∴f(n)的最大值为f(1)=，f(n)的最小值为f(2)= ，
于是，由①式得a<-(λ+18)<
当a<b3a时，由－b-18=-3a-18，不存在实数满足题目要求；
当b>3a存在实数λ，使得对任意正整数n，都有a<S_n< b．