Question

14．给出以下四个命题，其中真命题的序号为①④．
①若命题p：“?x∈R，使得x²+x+1＜0”，则?p：“?x∈R，均有x²+x+1≥0”；
②线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱；
③用相关指数R²来刻画回归效果，R²越小，说明模型的拟合效果越好；
④若x，y满足x²+y²+xy=1，则x+y的最大值为$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．

Answer 1

分析 ①根据特称命题的否定是全称命题进行判断，
②根据线性相关系数与相关性的关系进行判断，
③根据关指数R²的大小和模型的拟合关系进行判断，
④利用代入消元法结合判别式△的关系进行求解．

解答 解：①若命题p：“?x∈R，使得x²+x+1＜0”，则￢p：“?x∈R，均有x²+x+1≥0”；故①正确，
②根据线性相关系数r的绝对值越接近1，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱；故②错误，
③用相关指数R²来刻画回归效果，R²越大，说明模型的拟合效果越好；故③错误，
④设x+y=m，得y=m-x，代入x²+y²+xy=1得x²-mx+m²-1=0，
由判别式△=m²-4（m²-1）≥0得m²≤$\frac{4}{3}$，
即-$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$≤m≤$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，
则x+y的最大值为$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$正确，故④正确，
故答案为：①④

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强，但难度不大．