Question

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且点（asinA，csinC）在直线x-y=（a-b）sinB上
（1）求角C的大小；
（2）若2cos²

A

2

-2sin²

B

2

=

3

3

，且A＜B，求

c

a

．

Answer 1

考点：正弦定理,两角和与差的余弦函数,两角和与差的正弦函数

专题：计算题,解三角形

分析：（1）通过正弦定理化简表达式，利用余弦定理求出C的大小．
（2）由已知可得cosA+cosB=

3

3

，又C=

π

3

，有B=

2π

3

-A，可得

1

2

cosA+

3

2

sinA=

3

3

，解得sinA=

1

2

±

6

6

，由正弦定理可求

c

a

=

sinC

sinA

的值．

解答： 解：（1）∵点（asinA，csinC）在直线x-y=（a-b）sinB上，
∵asinA=（a-b）sinB+csinC，
由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

，得a²=（a-b）b+c²，
即a²+b²-c²=ab．①
由余弦定理得cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

1

2

，
结合0＜C＜π，得C=

π

3

．    
（2）∵2cos²

A

2

-2sin²

B

2

=

3

3

，
∴cosA+cosB=

3

3

，
∵C=

π

3

，
∴B=

2π

3

-A，
∵A＜B，
∴A为锐角，
∴cosA+cos（

2π

3

-A）=

1

2

cosA+

3

2

sinA=

3

3

，
∴可解得：12sin²A-12sinA+1=0，
∴解得：sinA=

1

2

±

6

6

，
∴由正弦定理可得：

c

a

=

sinC

sinA

=

3 2

3± 6 6

=3

3

±3

2

．

点评：本题考查正弦定理与余弦定理的应用，考查分析问题解决问题的能力，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．