Question

已知f（x）=

3x(0＜x≤1) log2(x-1)(1＜x≤3)

，若f（f（t））∈[0，1]，则实数t的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：通过t的范围，求出f（t）的表达式，判断f（t）的范围，然后代入已知函数，通过函数的值域求出t的范围即可．

解答： 解：当t∈（0，1]，所以f（t）=3^t∈（1，3]，
又函数f（x）=

3x(0＜x≤1) log2(x-1)(1＜x≤3)

，
则f（f（t）=log₂（3^t-1），
因为f（f（t））∈[0，1]，
所以0≤log₂（3^t-1）≤1，即1≤3^t-1≤2，
解得：log₃2≤t≤1，
则实数t的取值范围[log₃2，1]；
当1＜t≤3时，f（t）=log₂（t-1）∈（-∞，1]，
由于f（f（t））∈[0，1]，
即有0≤3log2(t-1)≤1，
解得1＜t≤2．
此时f（t）=log₂（t-1）≤0，f（f（t））不存在．
综上可得t的取值范围为[log₃2，1]．
故答案为：[log₃2，1]．

点评：本题考查分段函数的综合应用，指数与对数不等式的解法，函数的定义域与函数的值域，考查计算能力，属于中档题和易错题．