Question

（2013•怀化二模）受日月引力的作用，海水会发生涨落，这种现象叫潮汐．在通常情况下，船在海水涨潮时驶进航道，靠近码头，卸货后返回海洋．某港口水的深度y（m）是时间t（0≤t≤24，单位：h）的函数，记作：y=f（t），下表是该港口在某季每天水深的数据：

t（h）	0	3	6	9	12	15	18	21	24
y（m）	10.0	13.1	9.9	7.0	10.1	13.0	10.0	7.0	10.0

经过长期观察y=f（x）的曲线可以近似地看做函数y=Asinωt+k的图象．
（Ⅰ）根据以上数据，求出函数y=f（t）的近似表达式；
（Ⅱ）一般情况下，船舶航行时船底离海底的距离为5m或5m以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰到海底即可），某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5m，如果该船想在同一天内安全进出港，问它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时间）？

Answer 1

分析：（Ⅰ）函数y=f（t）可以近似地看做y=Asinωt+k，由数据知它的周期T=12，振幅A=3，k=10，从而可得函数解析式；
（Ⅱ）该船进出港口时，水深应不小于6.5+5=11.5m，而在港口内，永远是安全的，由此可得结论．

解答：解：（Ⅰ）∵函数y=f（t）可以近似地看做y=Asinωt+k，
∴由数据知它的周期T=12，振幅A=3，k=10…（3分）
∵

2π

ω

=12，∴ω=

π

6

．
故y=3sin

π

6

t+10…（6分）
（Ⅱ）该船进出港口时，水深应不小于6.5+5=11.5m，而在港口内，永远是安全的，
由3sin

π

6

t+10≥11.5得sin

π

6

t≥

1

2

…（9分）
∴2kπ+

π

6

≤

π

6

t≤2kπ+

5π

6

，k∈Z，∴12k+1≤t≤12k+5（k∈N），
在同一天内，取k=0.1，则1≤t≤5或13≤t≤17…（11分）
故该船最早能在凌晨1时进港，最迟在下午17时离港，在港口内最多停留16小时．…（12分）

点评：本题考查三角函数模型的建立，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．