Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=（1+m）-ma_n，其中m∈R，且m≠-1，0．
（1）若数列{a_n}满足a_nf （m）=a_n+1，数列{b_n}满足b₁=，b_n=f （b_n-1） （n∈N*，n≥2），求数列{b_n}的通项公式；
（2）若m=1，记c_a=a_n（-1），数列{c_n}的前n项和为T_n，求证：T_n＜4．

Answer 1

（1）解：由S_n=（1+m）-ma_n得：S_n-1=（1+m）-ma_n-1 （n≥2），相减得：a_n=-ma_n+ma_n-1，
∴=，m≠-1，m为常数，即数列{an}是等比数列，又a_nf （m）=a_n+1，∴f （m）=．
∵b_n=f （b_n-1）=，∴-=1，即{}是首项为2，公差为1的等差数列，
故 =2+（n-1）=n+1，
∴b_n=．（6分）
（2）解：当m=1时，=，a₁=S₁=2-a₁，得：a₁=1，∴a_n=，（8分）
∴c_n=a_n（-1）=n×，
∴T_n=1+2×+3×+…+n×，
=+2+3+…+（n-1）+n，
相减得：=1++++…+-n=-n=2-2-n＜2，
∴T_n＜4． （12分）
分析：（1）由条件可得得：a_n=-ma_n+ma_n-1，即数列{an}是等比数列，又a_nf （m）=a_n+1，得f （m）=．再由b_n=f （b_n-1）=，可得-=1，故{}是首项为2，
公差为1的等差数列，由此求得数列{b_n}的通项公式．
（2）先求出 a_n=，进而求得 c_n=a_n（-1）=n×，再进一步求得T_n=1+2×+3×+…+n×，利用错位相减法求出T_n的值．
点评：本题主要考查等差数列的通项公式，等比关系的确定，数列与不等式综合，用错位相减法进行数列求和，属于难题．