Question

已知函数f（x）=x-2m2+m+3（m∈z）为偶函数，且以f（2011）＜f（2012）．
（1）求m的值，并确定f（x）的解析式；
（2）若g（x）=log_a[f（x）-ax]（a＞0，a≠1）在区间[2，3]上为增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）因为幂函数是一个偶函数，且f（2011）＜f（2012）得-2m²+m+3是偶数且-2m²+m+3＞0，求出m的解集，找出整数解即可．
（2）分类讨论，考查内外函数的单调性，利用f（x）=log_a（x²-ax）（a＞0，且a≠1）在区间[2，3]上是增函数，即可求实数a的取值范围．

解答：解：（1）由题意得：-2m²+m+3是偶数且-2m²+m+3＞0，
∴-1＜m＜

3

2

，且m∈Z，∴m=0或1，
当m=0时，-2m²+m+3=3为奇数，不合，当m=1时，-2m²+m+3=2为偶数，
∴m的值为1，f（x）=x²；
（2）g（x）=log_a[f（x）-ax]=log_a（x²-ax），设t=x²-ax，
当a＞1时，由于g（x）=log_at是增函数，故只须函数t=x²-ax在[2，3]是增函数，且函数t大于0，
则

a 2 ≤2 4-2a＞0

，解得1＜a＜2．
当 1＞a＞0时，由题意可得 函数t=x²-ax在[2，3]应是减函数，且函数t大于0，
故

a 2 ≥3 9-3a＞0

，此时无解
综上，实数a的取值范围是（1，2）．

点评：本题考查幂函数的概念、解析式、定义域、值域，对数函数的单调性，考查复合函数的单调区间，体现了数形结合的数学思想．