Question

【题目】已知圆，直线．

（1）求证：对，直线与圆总有两个不同的交点；

（2）若，求的值；

（3）当取最小值时，求直线的方程．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）

【解析】试题分析：（1）把直线方程整理为，则该直线过定点，它在圆的内部，从而直线与圆总有两个不同的交点．（2）由可以得到弦心距，利用圆心到直线的距离公式可求出．（3）若弦最短时，则，故可由的斜率求出求的斜率，最后求得的直线方程．

解析：（1）证明：直线可化为：直线恒过点，将代入可得： ，即在圆内部，故对，直线与圆总有两个不同的交点．

（2），圆的半径为： ，圆心到直线的距离为，故，解得．

（3）由（1）可得时，弦最短时，直线的斜率，即，故此时直线的方程为，即，此时圆心到直线的距离，故．