Question

【题目】已知圆C：(x＋)2＋y2＝16，点A(，0)，Q是圆上一动点，AQ的垂直平分线交CQ于点M，设点M的轨迹为E.

(1)求轨迹E的方程；

(2)过点P(1,0)的直线交轨迹E于两个不同的点A，B，△AOB(O是坐标原点)的面积S＝，求直线AB的方程．

Answer 1

【答案】(1) ＋y2＝1. (2)x＋y－1＝0或x－y－1＝0．

【解析】试题分析：（1）由垂直平分线上的点到两端点的距离相等，所以|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝4>2，即M点的轨迹是椭圆。（2）由（1）得椭圆方程＋y2＝1，直线斜率存在，所以设直线方程为x＝my＋1，由面积公式S＝|OP||y1－y2|＝及韦达定理可解。

试题解析：(1)由题意|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝4>2，

所以轨迹E是以A，C为焦点，长轴长为4的椭圆，

即轨迹E的方程为＋y2＝1.

(2)记A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意，直线AB的斜率不可能为0，

而直线x＝1也不满足条件，故可设AB的方程为x＝my＋1.

由消去x得(4＋m2)y2＋2my－3＝0，

所以

S＝|OP||y1－y2|＝＝

由S＝，解得m2＝1，即m＝±1.

故直线AB的方程为x＝±y＋1，

即x＋y－1＝0或x－y－1＝0为所求．