Question

等差数列{a_n}中，2a₁+3a₂=11，2a₃=a₂+a₆-4，其前n项和为S_n．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b_n=a_n•2^n-1，求{b_n}的前n项和T_n．
（理）（Ⅲ）若数列{c_n}满足c_n=

1

Sn+1-1

，且{c_n}前n项和为L_n，求证：L_n＜

3

4

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（I）利用等差数列的通项公式即可得出；
（II）利用“错位相减法”即可得出；
（III）利用“裂项求和”即可得出．

解答： 解：（I）设等差数列{a_n}的公差为d，
∵2a₁+3a₂=11，2a₃=a₂+a₆-4，∴

5a1+3d=11 2a1+4d=2a1+6d-4

，解得a₁=1，d=2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（II）b_n=a_n•2^n-1=（2n-1）•2^n-1．
∴{b_n}的前n项和T_n=1+3×2+5×2²-…+（2n-1）•2^n-1．
2T_n=2+3×2²+…+（2n-3）•2^n-1+（2n-1）•2ⁿ
∴-T_n=1+2×2+2×2²+…+2×2^n-1-（2n-1）•2ⁿ=

2(2n-1)

2-1

-1-（2n-1）•2ⁿ=（3-2n）•2ⁿ-3．
∴T_n=（2n-3）•2ⁿ+3．
（III）S_n=

n(1+2n-1)

2

=n²，
∴c_n=

1

Sn+1-1

=

1

(n+1)2-1

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)．
∴L_n=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

2

-

1

4

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

n-1

-

1

n+1

)+(

1

n

-

1

n+2

)]
=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)＜

3

4

．

点评：本题考查了等差数列的通项公式、等比数列的前n项和公式、“错位相减法”、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于难题．