Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱BB₁中点，G是DD₁中点，F是BC上一点且BF=

1

3

FC，则GB与EF所成的角为

 

．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：以AB、AD、AA₁为x、y、z轴，建立空间直角坐标系如图，可得B、G、E、F各点的坐标，从而得到 GB与EF方向向量的坐标，利用空间向量的夹角公式求出它们所成角的余弦，即可得到答案．

解答： 解：以AB、AD、AA₁为x、y、z轴，建立空间直角坐标系如图，

设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为4，
∵E是棱BB₁中点，G是DD₁中点，F是BC上一点且BF=

1

3

FC，
∴B（4，0，0），G（0，4，2），E（4，0，2），F（4，1，0）
∴

GB

=（4，-4，-2），

EF

=（0，1，-2）
设异面直线EF与GB所成角为θ，
则cosθ=

| GB • EF |

| GB |•| EF |

=0，
∴θ=90°，
故答案为：90°

点评：本题在正方体中求两条异面直线所成角的余弦值，着重考查了利用空间坐标系求向量的长度和夹角等知识，属于基础题．