Question

已知数列{a_n}的前n（n∈N^*）项和为S_n，a₁=t，a₂=-1，点P_n（a_n，S_n），若点P_n（n=2，3，4，…）都在斜率为

1

3

的同一条直线上．
（1）当t为何值时，数列{a_n}是等比数列？
（2）在满足（1）的条件下，设b_n=λa_n-n²，若数列{b_n}中，有b₁＞b₂，b₃＞b₄，…，b_2n-1＞b_2n，…成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

考点：等比关系的确定,数列的函数特性

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由题意和斜率公式得到

Sn+1-Sn

an+1-an

=

1

3

，再由前n项和定义化简，根据等比数列的定义求出公比以及t的值；
（2）由等比数列的通项公式求出a_n，代入b_n=λa_n-n²化简，代入b_2n-1＞b_2n分离出λ，根据式子的单调性和n的范围求出式子的最大值，即可求出λ的范围．

解答： 解：（1）∵点P_n，P_n+1（n=2，3，4，…）都在斜率为

1

3

的直线上，
∴

Sn+1-Sn

an+1-an

=

1

3

．
又∵S_n+1-S_n=a_n+1，
∴a_n+1=

1

3

（a_n+1-a_n），整理得

an+1

an

=-

1

2

（n≥2）．
又∵当n∈N^*时，数列{a_n}是等比数列，
∴只需要

a2

a1

=

-1

t

=-

1

2

，
∴t=2．
（2）由（1）得a_n=2•（-

1

2

）^n-1，
∵b_n=λa_n-n²，∴b_n=2λ（-

1

2

）^n-1-n²，
由b_2n-1＞b_2n得，2λ（-

1

2

）^2n-2-（2n-1）²＞b_2n=2λ（-

1

2

）^2n-1-（2n）²，
即2λ（-

1

2

）^2n-2[1-（-

1

2

）]＞（2n-1）²-（2n）²，
∴λ＞-

(4n-1)•4n

12

，
∵-

(4n-1)•4n

12

单调递减，∴当n=1时，-

(4n-1)•4n

12

取最大值为-1，
∴λ＞-1．

点评：本题考查等比数列的定义、通项公式，斜率公式，以及数列的函数特性，属于中档题．