Question

已知椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点与抛物线C₂：y²=4x的焦点F重合，椭圆C₁与抛物线C₂在第一象限的交点为P，|PF|=

5

3

．
（Ⅰ）求椭圆C₁的方程；
（Ⅱ）若过点A（-1，0）的直线与椭圆C₁相交于M，N两点，求使

FM

+

FN

=

FR

成立的动点R的轨迹方程；
（Ⅲ）若点R满足条件（Ⅱ），点T是圆（x-1）²+y²=1上的动点，求R．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）方法一、运用抛物线的定义求得P的坐标，再代入椭圆方程，由a，b，c的关系，即可得到；
方法二、设出P的坐标，列出方程组，解得P的坐标，再代入椭圆方程，结合a，b，c的关系，即可得到；
（Ⅱ）方法一、运用点差法，结合向量的加法和四点共线的知识，即可求得R的轨迹方程；
方法二、设出直线方程，联立椭圆方程，运用韦达定理及向量的加法，即可得到所求轨迹方程；
（Ⅲ）求出R的横坐标的范围，再由两点的距离公式求出RF的最大值，即可得到R的坐标．

解答： （Ⅰ）解法1：抛物线C2：y2=4x的焦点F的坐标为（1，0），准线为x=-1，
设点P的坐标为（x₀，y₀），依据抛物线的定义，由|PF|=

5

3

，得1+x₀=

5

3

，解得x0=

2

3

．
∵点P在抛物线C₂上，且在第一象限，
∴

y

2 0

=4x0=4×

2

3

，解得y0=

2 6

3

．∴点P的坐标为(

2

3

，

2 6

3

)．
∵点P在椭圆C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1上，∴

4

9a2

+

8

3b2

=1．
又c=1，且a²=b²+c²=b²+1，解得a²=4，b²=3．
∴椭圆C₁的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
解法2：抛物线C2：y2=4x的焦点F的坐标为（1，0），
设点P的坐标为（x₀，y₀），x₀＞0，y₀＞0．
∵|PF|=

5

3

，
∴(x0-1)2+

y

2 0

=

25

9

．         ①
∵点P在抛物线C2：y2=4x上，
∴

y

2 0

=4x0．                    ②
解①②得x0=

2

3

，y0=

2 6

3

．
∴点P的坐标为(

2

3

，

2 6

3

)．
∵点P在椭圆C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1上，∴

4

9a2

+

8

3b2

=1．
又c=1，且a²=b²+c²=b²+1，解得a²=4，b²=3
∴椭圆C₁的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）解法1：设点M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）、R（x，y），
则

FM

=(x1-1，y1)，

FN

=(x2-1，y2)，

FR

=(x-1，y)．
∴

FM

+

FN

=(x1+x2-2，y1+y2)．
∵

FM

+

FN

=

FR

，
∴x₁+x₂-2=x-1，y₁+y₂=y．                   ①
∵M、N在椭圆C₁上，∴

x 2 1

4

+

y 2 1

3

=1，

x 2 2

4

+

y 2 2

3

=1．
上面两式相减得

(x1+x2)(x1-x2)

4

+

(y1+y2)(y1-y2)

3

=0．②
把①式代入②式得

(x+1)(x1-x2)

4

+

y(y1-y2)

3

=0．
当x₁≠x₂时，得

y1-y2

x1-x2

=-

3(x+1)

4y

．                   ③
设FR的中点为Q，则Q的坐标为(

x+1

2

，

y

2

)．
∵M、N、Q、A四点共线，
∴k_MN=k_AQ，即

y1-y2

x1-x2

=

y 2

x+1 2 +1

=

y

x+3

．           ④
把④式代入③式，得

y

x+3

=-

3(x+1)

4y

，
化简得4y²+3（x²+4x+3）=0．
当x₁=x₂时，可得点R的坐标为（-3，0），
经检验，点R（-3，0）在曲线4y²+3（x²+4x+3）=0上．
∴动点R的轨迹方程为4y²+3（x²+4x+3）=0．
解法2：当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y=k（x+1），
联立椭圆方程，消去y，得（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0．
设点M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）、R（x，y），
则x1+x2=-

8k2

3+4k2

，y1+y2=k(x1+1)+k(x2+1)=k(x1+x2+2)=

6k

3+4k2

．
∵

FM

=(x1-1，y1)，

FN

=(x2-1，y2)，

FR

=(x-1，y)．
∴

FM

+

FN

=(x1+x2-2，y1+y2)．
∵

FM

+

FN

=

FR

，
∴x₁+x₂-2=x-1，y₁+y₂=y．
∴x+1=x1+x2=-

8k2

3+4k2

，①y=

6k

3+4k2

．                      ②
①÷②得k=-

3(x+1)

4y

，③
把③代入②化简得4y²+3（x²+4x+3）=0．  （*）
当直线MN的斜率不存在时，设直线MN的方程为x=-1，
依题意，可得点R的坐标为（-3，0），
经检验，点R（-3，0）在曲线4y²+3（x²+4x+3）=0上．
∴动点R的轨迹方程为4y²+3（x²+4x+3）=0．
（Ⅲ）解：由（2）知点R（x，y）的坐标满足4y²+3（x²+4x+3）=0，
即4y²=-3（x²+4x+3），
由y²≥0，得-3（x²+4x+3）≥0，解得-3≤x≤-1．
∵圆（x-1）²+y²=1的圆心为F（1，0），半径r=1，
∴|RF|=

(x-1)2+y2

=

(x-1)2- 3 4 (x2+4x+3)

=

1

2

(x-10)2-105

．
∴当x=-3时，|RF|_max=4，
此时，|RT|_max=4+1=5，点R（-3，0）．

点评：本题考查椭圆、抛物线的方程和性质及定义，考查直线方程和椭圆方程联立，消去未知数，运用韦达定理，考查运算和整理及化简能力，属于中档题．