Question

已知B（-1，1）是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上一点，且点B到椭圆两个焦点的距离之和为4．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设A为椭圆的左顶点，直线AB交y轴于点C，过C作直线l交椭圆于D、E两点，问：是否存在直线l，使得△CBD与△CAE的面积之比为1：7，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）由题意列关于a，b的方程组，求解a，b后得椭圆方程；
（Ⅱ）由题意方程求得A的坐标，写出AB的方程，求得C的坐标，设出DE所在直线方程，和椭圆方程联立后由根与系数关系得到D，E的横坐标的和与积，由△CBD与△CAE的面积之比为1：7，结合

|CB|

|CA|

=

1

2

得到

|CD|

|CE|

=

2

7

．从而x1=

2

7

x2，代入根与系数关系式得：k=±3，则直线l方程可求．

解答： 解：（Ⅰ）由已知得

1 a2 + 1 b2 =1 2a=4

，解得

a=2 b= 2 3

．
∴椭圆方程为：

x2

4

+

3y2

4

=1；
（Ⅱ）由A（-2，0），B（-1，1）有l_AB：y=x+2，
∴C（0，2），
设D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），
∵x₁=x₂不合题意，
故可设l：y=kx+2，代入x²+3y²=4得：（3k²+1）x²+12kx+8=0  ①．
x1+x2=-

12k

3k2+1

，x1x2=

8

3k2+1

．
又

S△CBD

S△CAE

=

1 2 |CB||CD|sin∠ACE

1 2 |CA||CE|sin∠ACE

=

1

7

，

|CB|

|CA|

=

1

2

，
∴

|CD|

|CE|

=

2

7

．
从而x1=

2

7

x2，代入根与系数关系式得：k=±3，均满足方程①的判别式大于0，
即l：y=±3x+2．

点评：本题主要考查椭圆的定义，直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，推理论证能力，考查了函数与方程思想，数形结合思想，化归与转化思想，是中档题．