Question

2．在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M为AC与BD的交点．若$\overrightarrow{{A_1}{B_1}}$=$\overrightarrow a$，$\overrightarrow{{A_1}{D_1}}$=$\overrightarrow b$，$\overrightarrow{{A_1}A}$=$\overrightarrow c$，则下列向量中与$\overrightarrow{{A_1}M}$相等的向量是（　　）

• A． -$\frac{1}{2}$$\overrightarrow a$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow b$+$\overrightarrow c$
• B． $\frac{1}{2}$$\overrightarrow a$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow b$+$\overrightarrow c$
• C． $\frac{1}{2}$$\overrightarrow a$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow b$+$\overrightarrow c$
• D． -$\frac{1}{2}$$\overrightarrow a$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow b$+$\overrightarrow c$

Answer 1

分析 由空间向量加法法则得$\overrightarrow{{A_1}M}$=$\overrightarrow{{A}_{1}A}$+$\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{{A}_{1}A}+\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}）$=$\frac{1}{2}（\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}+\overrightarrow{{A}_{1}{D}_{1}}）$+$\overrightarrow{{A}_{1}A}$，由此能求出结果．

解答 解：∵在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M为AC与BD的交点．
$\overrightarrow{{A_1}{B_1}}$=$\overrightarrow a$，$\overrightarrow{{A_1}{D_1}}$=$\overrightarrow b$，$\overrightarrow{{A_1}A}$=$\overrightarrow c$，
∴$\overrightarrow{{A_1}M}$=$\overrightarrow{{A}_{1}A}$+$\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$
=$\overrightarrow{{A}_{1}A}+\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}）$
=$\frac{1}{2}（\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}+\overrightarrow{{A}_{1}{D}_{1}}）$+$\overrightarrow{{A}_{1}A}$
=$\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$．
故选：B．

点评 本题考查向量的表示，是基础题，解题时要认真审题，注意空间向量加法法则的合理运用．