Question

7．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为（1，0），一个顶点为$（0，\sqrt{3}）$，若在此椭圆上存在不同两点关于直线y=2x+m对称，则m的取值范围是（　　）

• A． （$-\frac{{\sqrt{15}}}{3}，\frac{{\sqrt{15}}}{3}$）
• B． （$-\frac{{2\sqrt{13}}}{13}，\frac{{2\sqrt{13}}}{13}$）
• C． （$-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$）
• D． （$-\frac{{\sqrt{15}}}{13}，\frac{{\sqrt{15}}}{13}$）

Answer 1

分析 由题意可设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a$＞b\$＞0），可得c=1，b=$\sqrt{3}$，a²=b²+c²．解出即可得出椭圆的标准方程．设与直线y=2x+m垂直的直线方程为y=-$\frac{1}{2}$x+t，此直线与椭圆相交于点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．线段AB的中点为M（x₀，y₀）．与椭圆方程联立化为：x²-tx+t²-3=0，可得△＞0，解得t范围．利用根与系数的关系、中点坐标公式即可得出．

解答 解：由题意可设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a$＞b\$＞0），则c=1，b=$\sqrt{3}$，a²=b²+c²=4．
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
设与直线y=2x+m垂直的直线方程为y=-$\frac{1}{2}$x+t，此直线与椭圆相交于点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
线段AB的中点为M（x₀，y₀）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+t}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，化为：x²-tx+t²-3=0，
△=t²-4（t²-3）＞0，解得-2＜t＜2（*）
∴x₁+x₂=t=2x₀，解得x₀=$\frac{1}{2}t$．
y₀=$-\frac{1}{2}{x}_{0}$+t=$\frac{3}{4}$t．
∴M$（\frac{1}{2}t，\frac{3}{4}t）$，代入直线y=2x+m，可得：$\frac{3}{4}t$=t+m，
可得t=-4m．
代入（*）可得：-2＜-4m＜2，解得$-\frac{1}{2}＜m$＜$\frac{1}{2}$．
∴m的取值范围是$（-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$．
故选：C．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．