Question

17．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}+6{x}^{2}+9x+3，x≤0}\\{alnx，x＞0}\end{array}\right.$在[-2，2]上的最小值为-1，则实数a的取值范围是[-$\frac{1}{ln2}$，0]．

Answer 1

分析 利用导数判断f（x）在[-2，0]上的单调性，求出f（x）在[-2，0]上的最小值，得出f（x）在（0，2]的最小值的范围，讨论a的符号得出f（x）在（0，2]上的单调性，根据最小值的范围列不等式求出a的范围．

解答 解：x≤0时，f′（x）=3x²+12x+9，
令f′（x）=0得x=-1或x=-3．
∴当-2＜x＜-1时，f′（x）＜0，当-1＜x＜0时，f′（x）＞0，
∴f（x）在[-2，-1]上单调递减，在（-1，0]上单调递增，
∴f（x）在[-2，0]上的最小值为f（-1）=-1．
∵f（x）在[-2，2]上的最小值为-1，
∴f（x）在（0，2]上的最小值大于或等于-1．
若a=0，则f（x）=0在（0，2]上恒成立，符合题意；
若a＞0，则f（x）=alnx在（0，2]上单调递增，且x→0时，f（x）→-∞，不符合题意；
若a＜0，则f（x）=alnx（0，2]上单调递减，f（x）的最小值为f（2）=aln2≥-1，
解得：-$\frac{1}{ln2}$≤a＜0，
综上，-$\frac{1}{ln2}$≤a≤0．
故答案为：[-$\frac{1}{ln2}$，0]．

点评 本题考查了函数单调性判断与最值计算，属于中档题．