Question

8．已知点A（-$\sqrt{3}$，0）和点B（$\sqrt{3}$，0），动点M到A点的距离是4，线段MB的垂直平分线交线段MA于点P．
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）若直线l过点D（1，0）且与椭圆交于E，F两点，求△OEF面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据题意画出图形，利用垂直平分线转换线段的关系得到PA+PB=4，据椭圆的定义即可得到动点P的轨迹方程；
（2）设l：x=my+1代入$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，消去x，设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），运用韦达定理，求出|y₁-y₂|的最大值，利用三角形的面积公式，即可得出结论．

解答 解：（1）点A（-$\sqrt{3}$，0）和点B（$\sqrt{3}$，0），
动点M到A点的距离是4，
由线段MB的垂直平分线交MA于点P知，PB=PM，
故PA+PB=PA+PM=AM=4
AB=2$\sqrt{3}$，即P点的轨迹为以A、B为焦点的椭圆，
中心为（0，0），可得a=2，c=$\sqrt{3}$，则b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
故P点的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
（2）设l：x=my+1代入$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，
得（4+m²）y²+2my-3=0，
∵△=（2m）²+4×3×（4+m²）＞0显然成立，
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），可得y₁+y₂=-$\frac{2m}{4+{m}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{3}{4+{m}^{2}}$，
|y₁-y₂|²=（y₁+y₂）²-4y₁y₂
=（-$\frac{2m}{4+{m}^{2}}$）²+$\frac{12}{4+{m}^{2}}$=$\frac{16{m}^{2}+48}{（4+{m}^{2}）^{2}}$，
可设4+m²=t（t≥4），即有m²=t-4，
可得$\frac{16{m}^{2}+48}{（4+{m}^{2}）^{2}}$=$\frac{16t-16}{{t}^{2}}$=-16（$\frac{1}{t}$-$\frac{1}{2}$）²+4，
由于0＜$\frac{1}{t}$≤$\frac{1}{4}$，可得$\frac{1}{t}$=$\frac{1}{4}$，即t=4，m=0时，|y₁-y₂|²取得最大值3，
即有|y₁-y₂|的最大值为$\sqrt{3}$，
则△OEF面积为S=$\frac{1}{2}$×|OD|×|y₁-y₂|≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即当直线l垂直于x轴时，△OEF面积取得最大值$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查曲线轨迹方程的求法，直线与椭圆的关系，三角形的面积公式与二次函数的最值的求法，考查计算能力，转化思想的应用，属于中档题．