Question

16．在△ABC中，点D在线段AC上，AD=2DC，BD=$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$，且tan∠ABC=2$\sqrt{2}$，AB=2，则△BCD的面积为$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$．

Answer 1

分析 设BC=a，AD=2DC=2x，则AC=3x，先根据余弦定理可得9x²=4+a²-$\frac{4}{3}$a，①，再根据余弦定理可得3x²-a²=-6，②，求出a，x的值，进而可求sin∠BDC，再根据三角形的面积公式计算即可．

解答 解：∵tan∠ABC=2$\sqrt{2}$，
∴cos∠ABC=$\sqrt{\frac{1}{1+ta{n}^{2}∠ABC}}$=$\frac{1}{3}$，
设BC=a，AD=2DC=2x，则AC=3x，
∵在△ABC中由余弦定理可得AC²=AB²+BC²-2AB•BCcos∠ABC，
∴9x²=4+a²-$\frac{4}{3}$a，①
在△ABD和△DBC中由余弦定理可得
cos∠ADB=$\frac{B{D}^{2}+A{D}^{2}-A{B}^{2}}{2BD•AD}$=$\frac{（\frac{4\sqrt{3}}{3}）^{2}+（2x）^{2}-{2}^{2}}{2×\frac{4\sqrt{3}}{3}×2x}$，
cos∠BDC=$\frac{B{D}^{2}+C{D}^{2}-B{C}^{2}}{2BD•CD}$=$\frac{（\frac{4\sqrt{3}}{3}）^{2}+{x}^{2}-{a}^{2}}{2×\frac{4\sqrt{3}}{3}×x}$，
∵∠ADC=π-∠BDC，
∴cos∠ADC=cos（π-∠BDC）=-cos∠BDC，
∴$\frac{（\frac{4\sqrt{3}}{3}）^{2}+（2x）^{2}-{2}^{2}}{2×\frac{4\sqrt{3}}{3}×2x}$=-$\frac{（\frac{4\sqrt{3}}{3}）^{2}+{x}^{2}-{a}^{2}}{2×\frac{4\sqrt{3}}{3}×x}$，
化简得3x²=a²-6，②，
由①②可得a=3，x=1，BC=3，
∴cos∠BDC=$\frac{（\frac{4\sqrt{3}}{3}）^{2}+{1}^{2}-{3}^{2}}{2×\frac{4\sqrt{3}}{3}×1}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，sin∠BDC=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴S_△BCD=$\frac{1}{2}$BD•CD•sin∠BDC=$\frac{1}{2}×$$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$×1×$\frac{\sqrt{6}}{3}$=$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$．
故答案为：$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$．

点评 本题考查了余弦定理和三角形的面积公式，考查了学生的运算能力，属于中档题．