Question

6．已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+4cosα}\\{y=2+4sinα}\end{array}\right.$（α为参数），直线l过定点P（3，5），倾斜角为$\frac{π}{3}$，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）试写出曲线C的极坐标方程；
（2）设直线l与曲线C交于A、B两点，求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）曲线C的参数方程消去参数α，得曲线C的普通方程为x²+y²-2x-4y-11=0，再由ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出曲线C的极坐标方程．
（2）曲线C是以C（1，2）为圆心，以r=4为半径的圆，|PC|=$\sqrt{13}$＜4=r，从而P（3，5）在曲线C内，求出直线l的参数方程 代入曲线C：x²+y²-2x-4y-11=0，由此能求出|PA|•|PB|．

解答 解：（1）∵曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+4cosα}\\{y=2+4sinα}\end{array}\right.$（α为参数），
∴消去参数α，得曲线C的普通方程为（x-1）²+（y-2）²=4²，
即x²+y²-2x-4y-11=0，
∵ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，
∴曲线C的极坐标方程为ρ²-2ρcosθ-4ρsinθ-11=0．
（2）曲线C是以C（1，2）为圆心，以r=4为半径的圆，
∵P（3，5），∴|PC|=$\sqrt{（3-1）^{2}+（5-2）^{2}}$=$\sqrt{13}$＜4=r，
∴P（3，5）在曲线C内，
∵直线l过定点P（3，5），倾斜角为$\frac{π}{3}$，
∴设直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=3+\frac{1}{2}t}\\{y=5+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$，（t为参数），
把直线l的参数方程代入曲线C：x²+y²-2x-4y-11=0，
得${t}^{2}+（2+3\sqrt{3}）t-3=0$，
该方程有两个实根t₁，t₂，则|PA|•|PB|=|t₁t₂|=3．

点评 本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查两线段的乘积的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．