Question

17．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=4cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）．
（1）求曲线C的普通方程；
（2）经过点M（2，1）（平面直角坐标系xOy中的点）作直线l交曲线C于A，B两点，若M恰好为线段AB的中点，求直线l的斜率．

Answer 1

分析 （1）曲线C的参数方程消去参数θ，能求出曲线C的普通方程．
（2）设直线l的倾斜角为θ₁，求出直线的参数方程，代入曲线C的直角坐标方程，得（cos²θ₁+4sin²θ₁）+（4cosθ₁+8sinθ₁）t-8=0，由此利用韦达定理，结合已知条件能求出直线l的斜率．

解答 解：（1）∵曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=4cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），
∴由曲线C的参数方程，得$\left\{\begin{array}{l}{cosθ=\frac{x}{4}}\\{sinθ=\frac{y}{2}}\end{array}\right.$，
∴曲线C的普通方程为$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
（2）设直线l的倾斜角为θ₁，
则直线的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcos{θ}_{1}}\\{y=1+tsin{θ}_{1}}\end{array}\right.$（t为参数），
代入曲线C的直角坐标方程，得（cos²θ₁+4sin²θ₁）+（4cosθ₁+8sinθ₁）t-8=0，
∴t₁+t₂=-$\frac{4cos{θ}_{1}+8sin{θ}_{1}}{co{s}^{2}{θ}_{1}+4si{n}^{2}{θ}_{1}}$，由题意可知t₁=-t₂．
∴4cosθ₁+8sinθ₁，得k=-$\frac{1}{2}$，
∴直线l的斜率为-$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查参数方程化为普通方程的求法，考查直线的斜率的求法，考查韦达定理、直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．