Question

15．若数列{a_n}是等比数列，则下列数列一定是等比数列的是（　　）

• A． {lga_n}
• B． {1+a_n}
• C． $\{\frac{1}{a_n}\}$
• D． $\{\sqrt{a_n}\}$

Answer 1

分析 求出${a}_{n}={a}_{1}{q}^{n-1}$，在A中，$\frac{lg{a}_{n}}{lg{a}_{n-1}}$不一定是常数；在B中，{1+a_n}可能有项为0；在C中，利用等比数列的定义，可知{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的公比是原来公比的倒数；在D中，当q＜0时，数列{a_n}存在负项，此时$\sqrt{{a}_{n}}$无意义．

解答 解：∵数列{a_n}是等比数列，∴${a}_{n}={a}_{1}{q}^{n-1}$，
在A中，$\frac{lg{a}_{n}}{lg{a}_{n-1}}$=$\frac{lg（{a}_{1}{q}^{n-1}）}{lg（{a}_{1}{q}^{n-2}）}$=$\frac{lg{a}_{1}+（n-1）lgq}{lg{a}_{1}+（n-2）lgq}$不一定是常数，故A不一定是等比数列；
在B中，{1+a_n}可能有项为0，故B不一定是等比数列；
在C中，利用等比数列的定义，可知{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的公比是原来公比的倒数，故C一定是等比数列；
在D中，当q＜0时，数列{a_n}存在负项，此时$\sqrt{{a}_{n}}$无意义，故D不符合题意．
故选：C．

点评 本题考查等比数列的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．